代数的表現は、数学的操作における文字、記号、数字の組み合わせとして知られています。通常、文字は未知の量を表し、変数または未知と呼ばれます。代数的表現は、通常の言語の数学的言語表現への翻訳を可能にします。代数的表現は、未知の値を文字で表される数値に変換する義務から生じます。数字や文字が現れるこれらの表現の研究、および数学的操作の兆候を担当する数学の分野は、代数です。
代数表現とは
目次
前に述べたように、これらの操作は、後でさまざまな数学的操作で使用される文字、数字、および記号の組み合わせにすぎません。代数的表現では、文字には数字の振る舞いがあり、そのコースをとるとき、1〜2文字が使用されます。
使用している式に関係なく、最初に行うことは単純化することです。これは、数値プロパティと同等の1つまたは複数の操作のプロパティを使用して実現されます。代数演算の数値を見つけるには、文字を特定の数字に置き換える必要があります。
これらの表現に対して多くの演習を行うことができます。このセクションでは、問題の主題の理解を深めるために演習を行います。
代数表現の例：
- （X + 5 / X + 2）+（4X + 5 / X + 2）
X + 5 + 4X + 5 / X + 2
5X + 10 / X + 2
5（X + 2）/ X + 2
5
- （3 / X + 1）-（1 / X + 2）
3（X + 2）-X-1 /（X + 1）*（X + 2）
2X-5 / X ^ 2 + 3X + 2
代数的言語
代数言語は、数字を表すために記号と文字を使用する言語です。その主な機能は、数値とその基本的な算術演算（+ -x％）のみが発生する算術内で行われるさまざまな演算を一般化するのに役立つ言語を確立して構造化することです。
代数言語は、算術内で開発されるさまざまな操作を一般化するのに役立つ言語を確立および設計することを目的としています。ここでは、数値とその基本的な数学的操作（加算（+）、減算（-）、乗算）のみが使用されます。 （x）および除算（/）。
代数言語は、数値言語よりもはるかに具体的であるため、その精度が特徴です。それを通して、文章を簡単に表現することができます。例：3の倍数のセットは（3、6、9、12…）は3nで表されます。ここで、n =（1、2、3、4…）です。
それはあなたが未知の数を表現し、それらを使って数学的な操作を実行することを可能にします。たとえば、2つの数値の合計は次のように表されます：a + b。一般的な数値プロパティと関係の表現をサポートします。
例：可換性は次のように表されます：axb = bxa。この言語を使用して書く場合、未知の量を単純な記号で操作して書くことができるため、定理の単純化、方程式と不等式の定式化、およびそれらの解決方法の研究が可能になります。
代数的記号と記号
代数では、記号と記号の両方が集合理論で使用され、これらは方程式、系列、行列などを構成または表します。同じ文字が他の問題で使用され、その値が異なる変数を見つけるため、文字は変数として表現または名前が付けられます。分類代数表現には、次のものがあります。
代数的分数
代数的分数は、数値的分数と同様の動作を示す2つの多項式の商によって表されるものとして知られています。数学では、乗算と除算を行うことにより、これらの分数を操作できます。したがって、代数的分数は、分子が被除数で分母が除数である2つの代数的表現の商で表されることを表現する必要があります。
代数的分数の特性の中で、分母が同じ非ゼロ量で除算または乗算された場合、分数は変更されないことが強調されます。代数的分数の単純化は、分子と分母を構成する多項式を因数分解するために必要な、もはや還元できない分数に変換することで構成されます。
分類代数表現は、次のタイプに反映されます：同等、単純、正しい、不適切、分子またはヌル分母で構成されます。次に、それぞれを確認します。
同等物
クロス積が同じ場合、つまり分数の結果が同じ場合、この側面に直面しています。たとえば、これら2つの代数的分数のうち、2 * 10 = 5 * 4の場合、2/5と4/10は同等になります。
シンプル
それらは、分子と分母が整数の有理式を表すものです。
自分の
それらは、分子が分母よりも小さい単純な分数です。
不適切
それらは、分子が分母以上である単純な分数です。
複合
それらは、分子、分母、またはその両方に配置できる1つ以上の分数によって形成されます。
ヌル分子または分母
値が0の場合に発生します。0/0の割合がある場合、それは不確定になります。代数的分数を使用して数学演算を実行する場合、数値分数を使用する演算のいくつかの特性を考慮に入れる必要があります。たとえば、分母が異なる桁である場合に、最も一般的でない倍数を開始する必要があります。
除算と乗算の両方で、操作は数値分数の場合と同じように実行および実行されます。これらは可能な限り事前に簡略化する必要があるためです。
モノミアル
モノミアルは、係数と呼ばれる定数と、文字で表され、さまざまな累乗に累乗できるリテラル部分を持つ、広く使用されている代数表現です。たとえば、モノミアル2x²の係数は2で、x²は文字通りの部分です。
場合によっては、たとえば2xyの場合、文字通りの部分が未知数の乗算で構成されていることがあります。これらの文字はそれぞれ、不確定または可変と呼ばれます。モノミアルは、単一の項を持つ一種の多項式であり、さらに、同様のモノミアルの前にある可能性があります。
モノミアルの要素
モノミアル5x ^ 3が与えられた; 次の要素が区別されます。
- 係数：5
- 文字通りの部分：x ^ 3
モノミアルの積は係数であり、これは文字通りの部分を乗算することによって現れる数を指します。通常は先頭に配置されます。モノミアルの積の値が1の場合、それは書き込まれず、式全体の値がゼロになるため、ゼロになることはありません。モノミアルエクササイズについて知っておくべきことがあるとすれば、それは次のとおりです。
- モノミアルに係数がない場合、それは1に等しくなります。
- いずれかの項に指数がない場合、それは1に等しくなります。
- 文字通りの部分が存在しないが必要な場合は、指数がゼロであると見なされます。
- これのいずれにも同意しない場合は、モノミアルの演習に直面していません。多項式とモノミアルの間の演習にも同じルールが存在すると言うこともできます。
モノミアルの加算と減算
2つの線形モノミアル間で合計を実行できるようにするには、線形部分を保持し、係数を追加する必要があります。2つの線形モノミアルの減算では、係数を減算できるように、加算と同様に線形部分を保持する必要があります。次に、係数が乗算され、指数が同じ基数で加算されます。
モノミアルの増殖
それは、係数が係数の積または結果であるモノミアルであり、まったく同じ底を持つ累乗の乗算によって得られた文字通りの部分を持っています。
モノミアルの分割
係数が得られた係数の商である別のモノミアルにすぎず、さらに、まったく同じ底を持つ累乗間の除算から得られた文字通りの部分を持っています。
多項式
多項式について話すとき、変数、定数、および指数で構成される加算、減算、および順序付き乗算の代数演算を指します。代数では、多項式は複数の変数（x、y、z）、定数（整数または分数）、および指数（正の整数のみ）を持つことができます。
多項式は有限の項で構成され、各項は、変数、定数、または指数の3つの要素の1つ以上を含む式です。例：9、9x、9xyはすべて用語です。用語を識別する別の方法は、それらが加算と減算によって分離されることです。
多項式を解く、単純化する、加算または減算するには、たとえば、xを含む項、「y」を含む項、および変数を持たない項と同じ変数で項を結合する必要があります。また、加算、減算、乗算のいずれを行うかを決定する用語の前の記号を確認することも重要です。同じ変数を持つ用語は、グループ化、追加、または減算されます。
多項式の種類
多項式が持つ項の数は、それがどのタイプの多項式であるかを示します。たとえば、単一項の多項式がある場合、それは単項に直面しています。この明確な例は、多項式演習（8xy）の1つです。二項と呼ばれ、次の例で識別される2項多項式もあります：8xy-2y。
最後に、三項として知られ、多項式の1つによって識別される3つの項の多項式は、8xy-2y + 4を実行します。三項は、 3つの項の合計または差によって形成される代数表現の一種です。モノミアル（類似のモノミアル）。
多項式の次数について話すことも重要です。なぜなら、それが単一の変数である場合、それは最大の指数だからです。複数の変数を持つ多項式の次数は、最大の指数を持つ項によって決定されます。
多項式の加算と減算
多項式の合計には、項の組み合わせが含まれます。同様の用語は、同じ変数または同じ累乗の変数を持つモノミアルを指します。
多項式の合計を含む、多項式計算を実行するさまざまな方法があります。これは、水平方向と垂直方向の2つの異なる方法で実行できます。
- 水平方向の多項式の合計：水平方向に操作を実行するために使用され、冗長性はそれだけの価値がありますが、最初に多項式が書き込まれ、次に同じ行に続きます。この後、加算または減算される他の多項式が書き込まれ、最後に、同様の用語がグループ化されます。
- 多項式の垂直和：最初の多項式を順序付けられた方法で書き込むことによって実現されます。これが不完全な場合は、欠落している用語のギャップを空けておくことが重要です。次に、次の多項式が前の多項式のすぐ下に書き込まれます。このようにして、上記と同様の用語が下になります。最後に、各列が追加されます。
2つの多項式を追加するには、同じ次数の項の係数を追加する必要があることを追加することが重要です。同じ次数の2つの用語を追加した結果は、同じ次数の別の用語です。いずれかの学位から欠落している用語がある場合は、0で完了することができます。通常、それらは最高から最低の学位の順に並べられます。
上記のように、2つの多項式の合計を実行するには、同じ次数の項を追加するだけで済みます。この操作のプロパティは、次のもので構成されています。
- 連想特性：同じ累乗になるxに付随する係数を追加することにより、2つの多項式の合計が解かれます。
- 可換性：加算の順序を変更し、結果を推定することはできません。すべての係数が0に等しいニュートラル要素。ニュートラル要素に多項式が追加されると、結果は最初の要素と等しくなります。
- 反対のプロパティ：集計多項式係数のすべての逆係数を持つ多項式によって形成されます。したがって、加算演算を実行すると、結果はヌル多項式になります。
多項式の減算（多項式を使用した操作）に関しては、モノミアルをそれらが持つ特性に従ってグループ化し、類似したものの単純化から始めることが不可欠です。多項式を使用した操作は、減数の反対を被減数に追加することによって実行されます。
多項式の減算を進めるもう1つの効率的な方法は、各多項式の反対を他の多項式の下に書き込むことです。したがって、同様のモノミアルが列に残り、それらを追加します。もちろん、どのような手法を実行しても、正しく実行されれば、結果は常に同じになります。
多項式の乗算
モノミアルの乗算または多項式とモノミアルの間の演習は、モノミアル（整数と正の指数に上げられた数字と文字の乗算に基づく代数表現）と別のこれが独立した用語、別のモノミアル、または多項式（モノミアルと独立した用語の有限和）である場合の式。
ただし、ほとんどすべての数学演算と同様に、多項式の乗算にも、提案された演算を解くときに従わなければならない一連のステップがあります。これは、次の手順に要約できます。
最初に行うことは、モノミアルにその式を掛けることです（各用語の符号を掛けます）。その後、係数値が乗算され、その操作で値が見つかると、用語で見つかったモノミアルのリテラルが追加されます。次に、各結果がアルファベット順に書き留められ、最後に、基本リテラルにある各指数が追加されます。
多項式分割
Ruffiniメソッドとも呼ばれます。これにより、多項式を二項で除算したり、多項式の根を見つけて二項に因数分解したりすることができます。言い換えれば、この手法は、次数nの代数多項式を代数二項に分割または分解し、次に次数n-1の別の代数多項式に分割または分解することを可能にします。そして、これを可能にするためには、分離を正確にするために、一意の多項式の根の少なくとも1つを知っているか知っている必要があります。
多項式をx--rの形式の二項で除算するのは効率的な手法です。 Ruffiniの法則は、除数が線形係数である場合の合成除算の特殊なケースです。ルフィニの方法は、1804年にイタリアの数学者、教授、医師のパオロルフィニによって説明されました。パオロルフィニは、ルフィニの法則と呼ばれる有名な方法を発明したことに加えて、二項;彼はまた、方程式の根の近似計算に基づいてこの手法を発見し、定式化しました。
いつものように、代数演算に関しては、Ruffiniのルールには、目的の結果に到達するために実行する必要のある一連のステップが含まれます。この場合、任意のタイプの多項式の除算に固有の商と残差を見つけます。 x + r形式の二項。
まず、操作を開始するときに、式を確認して、RuffiniRuleメソッドによって期待される形式に応答する多項式および二項として実際に扱われるかどうかを確認または決定する必要があります。
これらのステップが検証されると、多項式は（降順で）順序付けられます。このステップが完了すると、多項式項の係数（独立したものまで）のみが考慮され、左から右に一列に配置されます。必要な用語のためにいくつかのスペースが残されています（不完全な多項式の場合のみ）。ギャレー記号は、配当多項式の係数で構成される行の左側に配置されます。
ギャラリーの左側に、二項の独立した項を配置します。これは現在、除数であり、その符号は逆です。インディペンデントは、多項式の最初の係数で乗算されるため、最初の行の下の2番目の行に登録されます。次に、2番目の係数とモノミアル独立項の積が最初の係数によって差し引かれます。
二項の独立項は、前の減算の結果で乗算されます。ただし、それに加えて、4番目の係数に対応する2番目の行に配置されます。すべての条件に達するまで、操作が繰り返されます。これらの乗算に基づいて取得された3番目の行は、除算の残りの部分と見なされる最後の項を除いて、商として扱われます。
結果は、変数の各係数とそれに対応する次数を伴って表現され、元々持っていたものよりも低い次数で表現され始めます。
- 残りの定理：これは、多項式P（x）をxaという形式の別の多項式で除算するために使用される実用的な方法です。残りの値のみが取得されます。このルールを適用するには、次の手順に従います。多項式の配当は、完了または順序付けせずに書き込まれ、配当の変数xは、除数の独立項の反対の値に置き換えられます。そして最後に、操作は組み合わせて解決されます。
残差定理は、代数的除算の残差を取得する方法ですが、除算を行う必要はありません。
- Ruffiniの方法：Ruffiniの方法または規則は、多項式を二項で除算することを可能にし、二項を因数分解するために多項式の根を見つけることを可能にする方法です。言い換えれば、この手法は、次数nの代数多項式を代数二項に分割または分解し、次に次数n-1の別の代数多項式に分割または分解することを可能にします。そして、これを可能にするためには、分離を正確にするために、一意の多項式の根の少なくとも1つを知っているか知っている必要があります。
- 多項式の根：多項式の根は、多項式の価値をゼロにする特定の数値です。整数係数の多項式の完全な根は、独立項の除数であるとも言えます。ゼロに等しい多項式を解くと、解として多項式の根が得られます。多項式の根と因子の特性として、多項式のゼロまたは根は、その多項式に属する独立項の除数によるものであると言えます。
これにより、たとえば、多項式p（x）を別の形式xaで除算した残りの部分を見つけることができます。この定理から、多項式p（x）は、aが多項式のルートである場合にのみ、p（a）= 0の場合にのみ、xaで割り切れるということになります。C（x）が商であり、R（x）の場合は、任意の多項式p（x）を二項で除算した残りの部分です。これは（xa）p（x）の数値であり、x = aの場合、xaによる除算の残りの部分に等しくなります。
次に、次のように言います。nP（a）= C（a）•（a --a）+ R（a）= R（a）。一般に、Xaによる除算の残りを取得するには、xを置き換えるよりもRuffiniのルールを適用する方が便利です。したがって、残りの定理は問題を解決するための最も適切な方法です。
数学の世界では、Ruffiniの法則は、多項式をx --rの形式の二項で除算するための効率的な手法です。Ruffiniの法則は、除数が線形係数である場合の合成除算の特殊なケースです。
ルフィニの方法は、1804年にイタリアの数学者、教授、医師のパオロルフィニによって説明されました。パオロルフィニは、ルフィニの法則と呼ばれる有名な方法を発明したことに加えて、二項;彼はまた、方程式の根の近似計算に基づいてこの手法を発見し、定式化しました。
次に、各ルートについて、たとえば、タイプx = aは、タイプ（xa）の二項に対応します。多項式を、その結果の根（x = a）に対応するタイプ（xa）のすべての二項の積またはすべての二項の積として表す場合、因子で多項式を表すことができます。二項の指数の合計が多項式の次数に等しいことを考慮に入れる必要があります。また、独立した項を持たない多項式はルートx = 0として認められること、別の方法では、として認められることも考慮に入れる必要があります。 Xファクター。
多項式を因数分解する可能性がない場合、その多項式を「プライム」または「不可逆」と呼びます。
主題を掘り下げるには、代数の基本定理について明確にする必要があります。これは、非定数変数および複素係数の多項式は、根に多重度があるため、その次数と同じ数の根を持つだけで十分であると述べています。これは、次数nの代数方程式がn個の複雑な解を持っていることを確認します。次数nの多項式には、最大n個の実根があります。
例と演習
このセクションでは、この投稿で取り上げた各トピックの代数表現で解決した演習をいくつか配置します。
代数表現の演習：
- X ^ 2-9 / 2X + 6
（X + 3）*（X-3）/ 2 *（X + 3）
X-3 / 2
- X ^ 2 + 2X + 1 / X ^ 2-1
（X + 1）^ 2 /（X + 1）*（X-1）
X + 1 / X-1
多項式の合計
- 2x + 3x + 5x =（2 + 3 + 5）x = 10 x
- P（x）= 2×2 + 5x-6
Q（x）= 3×2-6x + 3
P（x）+ Q（x）=（2×2 + 5x-6）+（3×2-6x +3）=（2×2 + 3×2）+（5x-6x）+（-6 + 3）= 5×2-x-3
多項式の減算
P（x）= 2×2 + 5x-6
Q（x）= 3×2-6x + 3
P（x）-Q（x）=（2×2 + 5x-6）-（3×2-6x +3）=（2×2 + 5x-6）+（-3×2 + 6x-3）=（2×2-3×2）+（5x + 6x）+（-6-3）= -x2 + 11x-9
多項式分割
- 8 a / 2 a =（8/2）。（A / a）= 4
- 15 ay / 3a =（15/3）（ay）/ a = 5および
- 12 bxy / -2 bxy =（12 / -2）（bxy）/（bxy。）= -6
- -6 v2.c. x / -3vc =（-6 / -3）（v2.c。x）/（v。c）= 2 v
代数的表現（二項二乗）
（x + 3）2 = x 2 + 2•x•3 + 32 = x 2 + 6 x + 9
（2x-3）2 =（2x）2-2•2x•3 + 32 = 4×2-12 x + 9
残りの定理
（x4-3×2 + 2）:(x-3）
R = P（3）= 34-3•32 + 2 = 81-27 + 2 = 56
モノミアルの増殖
axnbxm =（ab）xn + m
（5x²y³z）（2y²z²）=（2・5）x²y3+ 2z1 + 2 =10x²y5z³4x
・（3x²y）=12x³y
モノミアルの分割
8 a / 2 a =（8/2）。（A / a）= 4
15 ay / 3a =（15/3）（ay）/ a = 5および
12bxy / -2 bxy =（12 / -2） （bxy）/（bxy。）= -6 -6v2
。c。x / -3vc =（-6 / -3）（v2.c。x）/（v。c）= 2 v
モノミアルの加算と減算
演習：3×3-4x + 5-2 + 2×3 + 2×2
解決策：3×3-4x + 5-2 + 2×3 + 2×2 = 3×3 + 2×3 + 2×2 --4x + 5 -2 = 5×3 + 2×2-4x + 3
